【レビュー】統計学への確率論，その先へ

第1章　確率モデルを作るまで
1.1 事象や観測を表現するための数学的記述
　標本空間／事象：σ-加法族／実用的なσ-加法族：ボレル集合体
1.2 確率変数と確率
　確率変数は観測である／“確率”とは何か？：確率と確率空間／確率測度の性質／条件付確率と2つの事象の独立性
1.3 不確実性の表現：確率分布と分布関数
　分布と分布関数／ルベーグ=スティルチェス測度とルベーグ測度／様々な確率分布／1点分布：ディラック関数／ほとんど確実に？／確率空間の完備化について

第2章　分布や分布関数による積分
2.1 期待値の定義
　離散型確率変数の期待値／一般の確率変数の期待値
2.2 スティルチェス積分について
　ルベーグ型とリーマン型／より具体的な積分計算／積分の順序交換について：フビニの定理
2.3 分布を特徴付ける量や関数
　積率(モーメント) ／分布を特徴付ける関数たち／具体例をいくつか
2.4 確率・積率に関する不等式
　確率を上から評価する／積率を上から評価する

第3章　確率変数の独立性と相関
3.1 確率変数の独立性
　たくさんの事象の独立性／独立な確率変数列の構成／独立な確率変数の和と再生性
3.2 確率変数の相関と条件付期待値
　相関と相関係数／初等的な条件付期待値：離散型／連続型確率変数に対する条件付期待値
3.3 多変量の分布と具体例
　多変量分布に対する諸注意／離散型：多項分布／連続型：多変量正規分布／多変量確率ベクトルの平均・分散共分散行列

第4章　様々な収束概念と優収束定理
4.1 確率変数列の概収束
　概収束の定義／期待値と極限の交換について
4.2 様々な確率的収束の概念とその強弱
　確率収束，Lp-収束，分布収束／各種収束の関係
4.3 確率変数列の同時収束
　同時収束はいつ成り立つのか？／同時分布収束：スラツキーの定理／連続写像定理

第5章　大数の法則と中心極限定理
5.1 大数の法則
　大数の弱法則／大数の強法則
5.2 中心極限定理
　確率論における“中心的な”極限定理／統計学への応用

第6章　再訪・条件付期待値
6.1 確率変数の“情報”という概念
　確率変数の情報／情報はσ-加法族？／情報の独立性
6.2 情報による条件付期待値
　離散型確率変数の場合／連続型確率変数の場合／σ-加法族に関する条件付期待値
6.3 条件付期待値に関する収束定理・不等式

第7章　統計的漸近理論に向けて
7.1 漸近オーダーの表記法
　ランダウの漸近記法：Oとo／確率的ランダウの記号：Opとop
7.2 概収束に関する種々の結果
　ボレル=カンテリの補題／大数の強法則の証明／確率収束を概収束として扱うテクニック／分布収束を概収束として扱うテクニック
7.3 モーメントの収束について
　漸近分散と分散の極限の違い？／一様可積分性とモーメントの収束
7.4 分布収束の条件を1セットに(Portmanteau?)
7.5 変換された確率変数列の分布収束：デルタ法

付録A 落穂ひろい
A.1 関数や測度の絶対連続性
　測度の絶対連続性／関数の絶対連続性
A.2 無限直積空間とIID確率変数の無限列
A.3 従属に見えて実は独立な標本平均と標本分散
A.4 正則条件付分布

付録B 演習の解答

「第2版によせて」より
本書は，筆者が昔から思い続けてきた「このような確率論の教科書がほしい」という構想を実現したものです．自身は数学の理解が遅い方なので，その自分が理解してきたイメージをすなおに言葉にすれば一般のお役に立てるのではないかと思ったのです．昔書物だけではわからずに苦労したこと，統計学の道具が確率論の和書になかなか見つからないこと，初学者の盲点，そのようなことが解決できる本を目指しました．出版後，授業で教科書や参考書にご指定頂いたり，輪読セミナーなどを開催して頂いたりする中で各方面から多くのコメントを頂き，みな昔の私と同じような疑問を持っていたのだということを実感するに至りました．（中略）
本書第2版では，タイポの修正のほか，定理の証明もいくつか大幅に修正し，それに伴う論理的不整合を正すべく定義や定理のステートメントも若干変更するなど，改訂に近い修正を行いました．（後略）

■目　次
第1章　確率モデルを作るまで
1.1 事象や観測を表現するための数学的記述
1.2 確率変数と確率
1.3 不確実性の表現：確率分布と分布関数

第2章　分布や分布関数による積分
2.1 期待値の定義
2.2 スティルチェス積分について
2.3 分布を特徴付ける量や関数
2.4 確率・積率に関する不等式

第3章　確率変数の独立性と相関
3.1 確率変数の独立性
3.2 確率変数の相関と条件付期待値
3.3 多変量の分布と具体例

第4章　様々な収束概念と優収束定理
4.1 確率変数列の概収束
4.2 様々な確率的収束の概念とその強弱
4.3 確率変数列の同時収束

第5章　大数の法則と中心極限定理
5.1 大数の法則
5.2 中心極限定理

第6章　再訪・条件付期待値
6.1 確率変数の“情報”という概念
6.2 情報による条件付期待値
6.3 条件付期待値に関する収束定理・不等式

第7章　統計的漸近理論に向けて
7.1 漸近オーダーの表記法
7.2 概収束に関する種々の結果
7.3 モーメントの収束について
7.4 分布収束の条件を1セットに(Portmanteau?)
7.5 変換された確率変数列の分布収束：デルタ法

付録A 落穂ひろい
A.1 関数や測度の絶対連続性
A.2 無限直積空間とIID確率変数の無限列
A.3 従属に見えて実は独立な標本平均と標本分散
A.4 正則条件付分布

付録B 演習の解答

　・統計学の研究・実務の際に参照をする日本語の教科書１０冊[2021-08-24に投稿]

　・データサイエンス関連の本を紹介する。[2020-11-23に投稿]